本书以拓扑学、集合论、函数论、模糊数学等数学方法，对地物的时空状态、地图投影、地图符号、基本地貌形态、地图学概念的派生逻辑等进行了描述，揭示其本质特征和内在联系。阐释了地图空间认知的数学原理和地图科学发展的动力机制。全书共分六章：第1章，地理空间和制图区域；第2章，地物分类和制图数据的处理；第3章，基本地貌形态；第4章，地图投影；第5章，地图符号；第6章，地图空间认知的原理和地图科学发展的动力机制。数学思维贯穿全书，突显理论创新特点。

前言
第1章地理空间和制图区域 1
1.1地球表面、大地水准面和地球椭球1
1.1.1地球表面1
1.1.2大地水准面S02
1.1.3我国的垂直基准3
1.1.4地球椭球5
1.2地理空间和制图区域的数学定义6
1.2.1地理空间的构成7
1.2.2制图区域8
1.2.3地外系统对地表环境的影响9
1.2.4地内系统对地表环境的影响10
1.2.5人类对地球表层环境的作用与影响10
1.3物质存在的时空条件及状态演化的数学模型12
1.3.1物质存在概念的定义12
1.3.2现实存在物演化的必然性及其演化的数学模型14
1.4基于地物位置和属性变化的状态变异与地图数据库更新模型17
1.4.1地物位置和属性时空变化的数学模型18
1.4.2地图数据库现势性维护19
1.4.3实例20
1.5地物的性质和外形及其在地球椭球面上的投影的数学定义21
1.5.1地物性质和形状变异的数学定义21
1.5.2三维空间中的地物在地球椭球面上的投影23
1.6地球系统信息模型23
1.6.1地球信息的定义24
1.6.2地球信息载体和地球信息的基本类型24
1.6.3地球空间数据的基本概念25
1.6.4地球空间数据的特征26
1.6.5地球空间数据的原生数据与派生数据26
1.6.6数据、信息与知识的关系27
1.7地物物理量的度量模型28
1.7.1常用物理量计量单位28
1.7.2地物物理量度量原理与度量模型29
1.7.3地物物理量的度量模型在测绘学中的应用29
1.8地物演化的数学模型32
1.8.1制图区域地物演化的数学模型32
1.8.2制图区域地物演化的事例 33
1.8.3地物演化的数学模型的应用34
第2章地物的分类和制图数据的处理36
2.1地图表示的物质基础及时空尺度36
2.1.1地物的物质基础36
2.1.2制图对象表示的时间尺度38
2.1.3制图对象表示的空间尺度38
2.2地理变量的量表39
2.2.1定名量表40
2.2.2顺序量表41
2.2.3间隔量表42
2.2.4比率量表43
2.2.5定名量表、顺序量表、间隔量表和比率量表的数学本质44
2.2.6突变量表45
2.3制图资料处理中数据偏序集的构建与简化48
2.3.1制图资料及其分类48
2.3.2制图对象的地理序列49
2.3.3制图对象的地理变量序列50
2.3.4地图符号其他特征的偏序关系51
2.4测绘学概念的派生逻辑52
2.4.1概念的派生逻辑52
2.4.2概念派生逻辑的应用53
2.5多因素评价体系的模糊聚类分析55
2.5.1模糊评价的常见模型及评述55
2.5.2影响地区经济发展的相关因素及权重56
2.5.3评价体系的模糊聚类58
第3章基本地貌形态60
3.1地表形态的成因和类型60
3.1.1地形形成的基本规律60
3.1.2大陆地表的地形类型61
3.2山地和平原的数学定义63
3.2.1确定山地和平原的两个变量64
3.2.2度量空间和邻域64
3.2.3平地的定义64
3.2.4山地和平原的变量尺度65
3.2.5平地定义的推广——山地和平原的数学定义65
3.2.6具有地名信息的地貌单元的定义66
3.3基本地貌形态的数学定义67
3.3.1陆地地貌67
3.3.2斜坡68
3.3.3基本地貌形态的数学定义69
3.3.4基本地貌形态的数学定义的等价表述形式71
3.4等高线悖论与广义等高线的定义73
3.4.1等高线悖论73
3.4.2广义等高线定义74
第4章地图投影76
4.1地图投影的拓扑学原理76
4.1.1基于刺孔球面(S2－{z})与二维平面同胚的地图投影定义76
4.1.2地图投影类型繁多的拓扑学基础77
4.2地图投影的分类78
4.2.1常规地图投影的分类和命名规则78
4.2.2地图投影的特征函数79
4.2.3常规地图投影的分类81
4.3常规地图投影的数学定义82
4.3.1地图投影正常位置下按经纬网形状分类82
4.3.2用于建立地图投影数学模型的基本概念83
4.3.3若干地图投影的数学定义84
4.4基于不同经纬线类型组合的地图投影新定义88
4.4.1经线类型88
4.4.2纬线类型89
4.4.3合同图形90
4.4.4方位投影等7种地图投影的新定义90
4.5圆柱与伪圆柱组合投影93
4.5.1中央经线方程、赤道方程和伪圆柱投影非中央经线方程94
4.5.2变形公式95
4.5.3算例96
4.6椭圆边经线多圆锥投影98
4.6.1经纬线方程98
4.6.2变形公式100
4.6.3算例102
4.6.4结语105
4.7可调节经线收敛度和经纬线间隔的伪圆柱投影107
4.7.1中央经线方程、赤道方程和坐标公式107
4.7.2变形公式108
4.7.3算例109
4.7.4结语111
4.8适用于广西的正轴等角割圆锥投影112
4.8.1正轴等角割圆锥投影公式113
4.8.2投影计算113
4.8.3结语116
4.9适用于编制广西地图的宽带高斯-克吕格投影117
4.9.1高斯-克吕格投影的条件及相关公式117
4.9.22000国家大地坐标系的高斯-克吕格投影x,y,μ,γ计算程序（CASIO fx4800P计算器）119
4.9.3广西宽带高斯-克吕格投影119
4.10地图投影方法在航空与航天远距离解算中的应用121
4.10.1建立图解量算全球范围内任意两点间的大圆航线的基本原理122
4.10.2求解大圆航线的地图投影基础122
4.10.3任意两点间大圆航线的确定及应用124
4.10.4结语130
4.11图幅分幅编号和图幅范围的快速确定方法130
4.11.1我国国家基本比例尺地形图的分幅编号方法130
4.11.2计算某点所在某种比例尺地形图的分幅编号及图幅范围的程序132
4.11.3算例134
4.12地图投影的科学美和艺术美134
4.12.1地图投影的科学美135
4.12.2地图投影的艺术美136
4.12.3结语138
4.13由高斯-克吕格投影平面直角坐标反解地理坐标的方法138
4.13.1由x、y坐标正算公式反解地理坐标139
4.13.2高斯-克吕格投影直角坐标公式139
4.13.3用CASIO fx4800P计算器由x、y反解φ、λ的计算程序（2000国家大地坐标系）140
4.13.4算例141
4.14地图投影设计中地球椭球基本元素的计算142
4.14.1地球椭球参数142
4.14.2地球椭球上基本元素的计算公式143
4.14.3用CASIO fx4800P计算器计算地球椭球基本元素的程序144
4.152000国家大地坐标系146
4.15.1采用2000国家大地坐标系的理由146
4.15.22000国家大地坐标系与现行参心坐标系的不同147
4.15.3采用2000国家大地坐标系对现有地形图的影响148
4.15.4采用2000国家大地坐标系的时间148
4.15.52000国家大地坐标系启用后对外提供的测绘成果148
第5章地图符号150
5.1地图符号产生的拓扑学原理150
5.1.1基于拓扑映射的地图符号产生原理150
5.1.2地图符号的图论解释151
5.1.3地图网络的数学定义152
5.2依比例符号、不依比例符号和半依比例符号的数学定义153
5.2.1地图符号的定义153
5.2.2依比例符号、不比例符号和半依比例符号第一定义153
5.2.3依比例符号、不比例符号和半依比例符号第二定义154
5.2.4第二定义与第一定义的等价性证明154
5.3点状、线状和面状地图符号的数学定义155
5.3.1点状、线状和面状地图符号的定义155
5.3.2点状、线状和面状地图符号的另一表达形式157
5.3.3点状、线状和面状地图符号的相互关系157
5.4地图符号的分类157
5.4.1分类的定义158
5.4.2几种地图符号的分类158
5.5地图符号的基本结构和功能160
5.5.1点状、线状、面状地图符号的相互关系及其基本结构161
5.5.2点状、线状、面状地图符号的表达功能分析162
5.5.3结语163
5.6基于约束变换的地图符号新定义163
5.6.1依比例符号163
5.6.2不依比例符号165
5.6.3半依比例符号166
5.6.4应用167
5.7基于条件变换的地图概括新定义167
5.7.1基于不同约束条件的地图概括的定义168
5.7.2基于不同限制条件的地图符号的定义170
5.8地图可视化与地图学概念的相关性171
5.8.1满足地图可视化的基本条件171
5.8.2由地图可视化派生的地图学基本概念及有关规律172
5.9相似原理的科学价值及其在测绘学中的应用175
5.9.1相似原理的普遍性175
5.9.2相似原理的科学价值176
5.9.3相似原理在测绘学中的应用178
5.10地图符号蕴涵的几种拓扑变换类型180
5.10.1地图符号产生的拓扑变换类型180
5.10.2地图投影变换、夸大变换和缩小变换181
5.10.3点状、线状和面状地图符号182
5.10.4结语183
5.11构建地图内容的布尔代数运算183
5.11.1地图符号系统的布尔代数结构183
5.11.2构建地图内容的地图概括的数学模型185
5.12地图审校和错误修改的数学定义及地图质量控制模型186
5.12.1地图符号生成的拓扑映射186
5.12.2地图审校和错误修改的数学定义188
5.12.3地图质量控制的数学模型190
第6章地图空间认知的原理和地图科学发展的动力机制192
6.1地图的非物质文化内涵192
6.1.1地图文化形态的特点和优势192
6.1.2有形、隐形、无形和抽象事物的可视化表达193
6.1.3地图及其构成元素（地图符号）关系的数学表述和定量刻画193
6.1.4科学文化知识的积累和传承195
6.2地图空间认知过程的理论阐释195
6.2.1地图符号生成的拓扑学原理确保了地图符号与指代对象的一一对应性196
6.2.2地图可视化的核心地位及其派生的重要制图规则保证了地图信息传输的极大化197
6.2.3地图符号中相似元素的普遍存在及其认识论价值198
6.2.4地图以图形表示的优势符合人类视图形知觉的特点198
6.2.5地图空间认知的心理学过程使认知成果的获得具有逻辑必然性199
6.2.6结语200
6.3地图科学属于人的科学200
6.3.1基于认识论范畴的认识主体和认识客体的属性200
6.3.2制图区域和制图物体的对象性存在确定了人的认识主体地位201
6.3.3人文地理框架内的制图对象的人造物性质都具有人类影响的因素202
6.3.4主体对客体的建构是主体观念地掌握客体的方式203
6.3.5可视化突显的是人的主体地位203
6.3.6测绘学中的范畴是人类认识客观世界的工具和掌握事物发展规律的形式205
6.4基于问题求解的地图制图过程206
6.4.1地图符号和地图的观念模型206
6.4.2地图符号和地图的观念模型的显化207
6.4.3基于问题求解的地图制图模式的拓展空间208
6.5地图科学发展的动力机制208
6.5.1地图空间认知的不可替代性209
6.5.2地图空间认知的特点和优势210
6.5.3现代测绘科技获取地球空间信息的先进方法211
6.5.4科技进步和社会发展引发人类对地图的需求的长期性增长213
参考文献216

　　《地图学概念的数学表述研究》：
　　第1章 地理空间和制图区域
　　1.1地球表面、大地水准面和地球椭球
　　地理空间的数学建构，根据大地测量学的研究成果，地球表面的几何模型可分为三类：第一类是地球的自然的面，就是包括海洋底部、高山、高原在内的固体地球表面；第二类是相对抽象的大地水准面，它假设把静止的海平面延伸到所有大陆底部而形成一个连续封闭的曲面，在这个面上，处处与地球重力方向正交；第三类是椭球体模型，即根据大地水准面的形状和大小，应用数学方法拟合出一个与其最为接近的旋转椭球体（陈述彭等，2001）。
　　1.1.1地球表面
　　在地理空间X中，存在着固体地球X1、大气圈X2、植被圈X3、水圈X4。由于这几类不同质的实体会在不同的地方与固体地球X1相邻接，而邻接就存在界面。固体地球表面，实质上是固体地球与不同性质的地学实体邻接的界面的并集。据此，我们可以分别对陆地地表和海底地表给出定义。
　　1.陆地地表S陆
　　[定义1.1]陆地地表S陆固体地球X1与大气圈X2以及植被圈X3的界面的并集，即满足下式的点集：
　　S陆=（X1∩X2）∪（X1∩X3）
　　={i|i∈X1∧i∈X2∨i∈X3}（1-1）
　　称为陆地地表，记为S陆。
　　式（1-1）中（X1∩X2）构成无植被区的地表，而（X1∩X3）则构成有植被区的地表。由于陆地水系（陆地上的河流、湖泊等）习惯上被看作陆地上的地物，这里不特别把它们分离出来，也即把它与大气圈X2的界面看作陆面。
　　2.海底地表S海
　　[定义1.2]海底地表S海固体地球X1与水圈X4的交集，即满足下式的点集：
　　S海=X1∩X4={i|i∈X1∧i∈X4}（1-2）
　　称为海底地表，记为S海。
　　3.固体地球表面S表
　　[定义1.3]固体地球表面S表陆地地表S陆与海底地表S海的并集，即满足下式的点集：
　　S表=S陆∪S海={i|i∈S陆∨i∈S海}（1-3）
　　称为固体地球表面，记为S表。
　　式（1-3）中的S陆和S海，分别由式（1-1）、式（1-2）给出。
　　1.1.2大地水准面S0
　　1849年，英国的斯托克司（G.G.Stokes）提出由重力测量资料确定地球形状的完整理论和实际的计算方法。1873年，利斯廷（Listing）创造出“大地水准面”一词，以此表示地球的形状。直到1945年，苏联的莫洛坚斯基（Molodensky）创立了用地面重力测量数据直接研究地球自然表面形状的理论。设想一个静止的海洋面，并把它延伸到大陆下面，使其形成一个包围地球的封闭曲面，这个曲面称为大地水准面，它代表一个比较规则光滑的地球形状。大地水准面处处与铅垂线垂直。由于地球内部结构的不均匀性，大地水准面仍是一个约有100m起伏幅度的曲面。过去，大地水准面只有理论数据，只是陆地上那些测点反演的数据，现在能反演动态的大地水准面。大地水准面是一个重力等位面，跟全球平均海洋面最接近，代表了地球的真实形状。
　　大地水准面S0是一个重力等位面，在这个面上，其重力位W0=6.2639787×109Gal1Gal=1cm/s2。/m。W0为已测定的公认值（宁津生等，2001）。根据地理空间中的点是否具有W0值，可定义大地水准面S0。
　　[定义1.4]大地水准面S0i∈X，若i点的重力位值满足：
　　S0={ii∈X∧Wi=W0=6.2639787×109Gal/m}（1-4）
　　则称S0为大地水准面。
　　大地水准面是所有地貌（如陆地、冰川和海洋等）的参考面，而大地水准面仅仅是由重力场来定义的，它可以通过后者的任何改善而改善。凡是涉及的高程变化比较小，如工程和大地测量，或者研究冰川运动、海平面变化和海洋环流时，对大地水准面的要求就非常高。现在由于GPS能精确求得大地高，因此出现了一种用GPS水准精化大地水准面的方法，它的基本原理是在一个GPS观测点上，可以获得大地高，同时又可通过精密水准测量求得该点的正高，则该点的大地水准面差距为
　　Ni=hi－Hi（1-5）
　　这样求得的大地水准面差距的精度是很高的（宁津生等，2006）。
　　20世纪80年代后期的Geosat测高卫星首次提供了覆盖全球海洋的海平面观测数据。自1992年Topex/Poseidon（T/P）测高卫星发射成功后，提供了高精度的全球测高数据。目前，测高数据经各种改正后，精度可达厘米量级。联合多种卫星测高数据可以精化全球和局部重力场模型。近年来推出的地球重力场模型，如EGM96和我国2000似大地水准面（CQG2000）都采用了多种海洋卫星的测高数据（宁津生等，2004）。CQG2000的总体分辨率为5′×5′，全国平均精度理论上为±0.36m。通过用中国地壳运动观测网络的73个GPS水准点进行独立检核，表明其精度在东部（东经102°以东）优于0.3m，西部（东经102°以西，北纬36°以北）优于0.4m和西部（东经102°以西，北纬36°以南）优于0.6m，整体精度达到分米级；其分辨率在东部为15′×15′，西部为30′×30′，且首次覆盖了我国大陆和海岸线以外400km邻海。
　　1.1.3我国的垂直基准
　　1.1956年黄海平均海水面
　　1956年，由总参测绘局与中华人民共和国水利部联合组成平差委员会，选定青岛1950～1956年潮汐资料，求得七年的平均海水面作为全国统一高程基准，称为“1956年黄海平均海水面”，地图上标注为“1956年黄海高程系”平均海水面值。
　　2.1985国家高程基准
　　1985国家高程基准的确定，是由M0、X0、Z0、N0、G0五种低滤波公式对青岛验潮站1952～1979年潮汐资料进行分析计算，分别得出10组18.61年和10组19年的平均海面值。考虑到月球升交点西退与季节变化对平均海面的影响后者更重要，确定选取后10组之平均值作为“1985国家高程基准”。经国务院批准，国家测绘局于1987年5月26日发出通知：从1988年1月1日起，启用“1985国家高程基准”。“1985国家高程基准”在“1956年黄海平均海水面”之上0.029m。1985国家高程基准是一个局部垂直基准。一般认为，局部平均海水面与大地水准面可能有2m的垂直位移（称为海面地形）。我国的1985国家高程基准，经利用EGM96引力位模型、大地水准面的已知位与分布全国的868个GPS/水准点数据研究，结果表明，大港验潮站的平均海水面的位等于（62636853.5±0.2）m2/s2，验潮站的平均海水面比大地水准面高出（24.6±2.54）cm，也即1985国家高程基准相对大地水准面的偏差为（24.6±2.54）cm。
　　3.当地平均海面
　　某一海区的长期验潮站，采用长时间序列（n年）的验潮资料，以n年平均海面求得样本均方差σ，可求得真实平均海面的误差为α的当地多年平均海面A0。当地平均海面的作用一为固定深度基准面（筑港零点）；二为远离大陆岛屿的高程基准。当地平均海面与1985国家高程基准（大地水准面）并不完全重合，而是有一定的偏差，即海面地形ΔH，如图1-1所示。
　　图1-1测绘垂直基准面
　　4.深度基准面
　　我国的深度基准面，1957年以前采用过最低低潮面（印度洋大潮低潮面）。1957年以后统一采用苏联弗拉基米尔斯基教授的方法以8～11个分潮（M2、S2、N2、K2、K1、O1、P1、Q1、M4、MS4、M6）调和常数计算的理论最低潮面，即理论深度基准面。1980年国家规定港口工程零点采用理论深度基准面。深度基准面在当地平均海面下的距离，通常以L表示（L是一个负值）。其对航行的保证率要求在95%以上。我国沿海港口当地平均海面与1985国家高程基准的偏差及理论深度基准面的垂直分布如图1-2所示。我国沿海当地平均海面与1985国家高程基准的偏差自北向南递增，也即海面地形值自北向南递增。黄海、渤海偏差为-10～14cm，东海偏差为13～40cm，华南沿海偏差为35～60cm，而在塘沽至连云港一带偏差几乎为零（殷晓冬、田光耀，2000）。
　　图1-2我国沿岸港口当地平均海面与垂直基准面的垂直分布
　　5.海拔高程
　　[定义1.5]海拔高程hi海拔高程是待测点i沿重力方向到大地水准面S0的距离，大地水准面是海拔高程起算的基准面。i∈X，若i∈S0hi=0，若iS0hi≠0。
　　（1）当i∈S陆时，hi为陆地表面某点i的高程，如某山头的高程。
　　（2）当i∈S陆∧hi＜0时，hi为陆面上低于平均海水面点i的高程，如新疆艾丁湖海拔为-155m，是我国海拔最低的湖泊，为中国陆地最低处。
　　（3）当iS陆∧i∈X1时，hi为地下点的高程，如矿井下某点的高程。
　　（4）当iS陆∧i∈X2时，hi为某空中点的高程，如某飞机在某时刻的高程。
　　6.海洋水深
　　海洋水深以深度基准面计算。深度基准面是根据长期的验潮数据所求得的理论上可能最低的潮面，也称“理论深度基准面”。理论深度基准面在平均海水面以下，它们的高差在海洋“潮信表”中“平均海面”一项下注明。大地水准面S0与平均海水面在海洋上一致。平均海水面与深度基准面的关系如图1-3所示。
　　图1-3平均海水面与深度基准面的关系
　　[定义1.6]海洋水深设深度基准面为S01，海洋水深是j∈X4到S01的垂直距离。j∈X4，若j∈S01hj=0，若jS01∧hj＜0，表明j点处于S01以下。设平均海水面S0与深度基准面的差距为k。
　　……