中文版序言

对风险的认识和管理贯穿整个人类金融发展史。无论风险管理的工具和手段有多么复杂和精细，风险管理的方法本质上都归为风险的分散和转移两种方式。投资组合理论是风险分散的典型实践应用，而期权的出现则为风险转移提供了条件和工具。在300多年前的欧洲，作为风险转移的有效机制，海运保险和财产保险的产生大大促进了国际贸易和工业生产，进而推动经济社会的发展；期权市场的出现则为全球金融市场的风险转移提供了有序、高效而透明的市场机制，也进一步推动了全球金融市场的演化和进步。从全球金融市场发展的普遍经验来看，一个稳定而富有弹性的金融市场必须以高效的风险定价和转移机制为基础，而期权市场正是这个必备基础的核心要件。

我国的资本市场经过二十多年的发展，已经取得了显著的成果，目前股票市场规模已经仅次于美国，位列全球第二。然而，我国金融衍生品市场的发展才刚刚起步，不仅与成熟市场国家有较大的差距，在发展节奏上也落后于印度、巴西、南非、俄罗斯等新兴市场国家。和国外市场一样，我国建设完善稳定的资本市场也离不开高效的金融衍生品市场。期权必然是我国金融衍生品市场发展的下一个重点。

作为非线性特征的产品，期权和期货、股票等线性产品最明显的区别在于期权比线性产品增加了波动率维度。期货等线性产品是在价格和时间的二维平面里面交易的；而期权多出的波动率维度把我们带入了神奇的三维立体空间。了解期权的人都知道决定期权价格最重要的因素是对标的资产波动率的预期。正是这个波动率维度，让我们摆脱了二维平面的束缚，增加了交易的自由度和选择性，但同时也增加了定价的复杂性。BS（Black-Scholes）模型为我们提供了非常优雅和简单的期权定价解决方案，很多金融界的从业人员把BS模型奉为“金融界的牛顿万有引力定律”。但是，BS模型中有很多条件假设在现实世界中是无法成立的。例如，1987年股灾发生后，很多业界专家发现了期权隐含波动率的“微笑”曲线，认识到波动率并不是一个恒定的值。很多充满好奇心并且勇于探索的学术界和从业人员在不断挑战BS 模型的有效性，并且在强大的数学工具帮助下探寻更加精细化的数学模型来定价期权。这些模型摆脱了BS模型有关波动率在一定期限内是不变的和不同行权价格期权的波动率是相同的等与现实世界不符的前提假设，采用波动率曲面的模型来优化和更加准确地为期权定价。这些波动率曲面的模型成功地把波动率微笑和波动率本身的随机性等特征刻画出来，计算的结果更加接近现实世界中期权的交易价格。

期权把交易的维度从价格方向扩展到波动率维度（从泰勒公式的一阶到二阶），交易的复杂性大大提升，对复杂数学工具的依赖性也不断提升。行之有效的期权定价模型是期权交易的基础，而波动率曲面模型则是期权定价的核心。波动率曲面模型是通往期权定价之门的钥匙，各类期权市场的参与者，包括做市商、套保投资者、套利交易者、投机者都需要有效的波动率曲面模型来提供定价参考。没有这把钥匙参与期权交易无异于蒙着眼睛在车流繁忙的大街上行走，行程将会危机四伏。从1973年BS模型诞生到现在学术界对波动率模型和波动率曲面进行了持续不断的探索，产生了大量的研究成果，但是由于在计算和参数设置上较为复杂，这些成果在业界的运用受到较大限制。在业界，由于波动率模型的选择和实施是一个机构的核心竞争力，很少有专家把波动率模型的方法和细节公布于众，因此，有关探讨在实际交易中行之有效的波动率模型教材并不多见。2006年，作为研究波动率模型的权威学者和业界专家，Jim Gatheral博士把他在纽约大学教授波动率曲面模型课程的讲义编成书出版，学界和业界就有了一本非常贴近实践运用的优秀教材。由于Jim长期在投行自营交易一线从事研究和交易工作，他的视角和对模型的探索成果对参与市场的从业人员非常有参考价值。

本书的中文版译者陈思博士在读博期间就把研究方向集中于波动率曲面这个很有挑战性的课题，她敏锐地发现这本贴近实践的教材对于我们国家刚刚起步的期权市场存在巨大的参考价值，并且花费了大量心血把这本书翻译成中文带给国内的读者。希望这本书的中译版能够给中国学术界和业界人士提供一个急需的学习资料，拓宽视野和启迪思维，推动我们国内学术与业界在期权定价方面的深入研究和探讨，促进国内期权市场的健康平稳发展。

最后，我想提醒读者一点，期权交易是科学也是艺术，定价模型只能解决期权定价中的一部分带有科学属性的问题。与其他市场一样，期权市场的价格是由所有市场参与者共同作用和相互作用形成的，全面深入理解期权的定价还需要仔细考虑市场规则、投资者结构、投资者行为和市场情绪等重要因素，而有效的波动率模型仅仅是提供了一个理解和定价期权市场的标尺，这是一个解决问题的工具和开始，而不是解决方案。在实际运用中，也并不是越复杂和精细化的定价模型越好，经验丰富的期权交易员总是在模型的精细化和便利性两个方面做好平衡。同样地，我希望这本书是你进一步深入探索期权定价的一个良好起点，从这里出发开启探寻定价期权金钥匙之路，尽管你会发现旅程的终点似乎永远都遥不可及，但是会感受到探索之旅的过程趣味无穷、美丽至极。欢迎你来到奇妙的期权世界！

王琦

2017年7月

引    言

（一）

吉姆·盖斯勒尔（Jim Gatheral）在纽约大学柯朗研究所开了6次关于波动率建模的课程，慢慢形成了这本讲义。吉姆2000年写下这些公式，经过了6年的修改终于形成了2006年春天的这个版本，我见证了整个过程，并且深深地被这本书吸引了。就像酿酒一样，要反复提炼才能酿出好酒。这本书整整修改了7次，经过一次又一次的修改，它变得更简洁明了、思路更清晰。这本书的绝妙之处在于它的内容恰到好处，既实现了最大程度的简洁，又涵盖了所有关键的知识点，没有过于冗长也没有过于片面，切中要点却没有过分地炫耀自己的专业技术。

这门课开课之后迅速走红。第二年，学校的工作人员就开始抱怨了，因为有太多的业界工作者来免费旁听，以至于交学费的学生们都没有位置坐。到了第三年、第四年，这本书就开始在老师之间传阅，变成了一本标准教程。吉姆对随机波动率和局部波动率的处理方式已经成为一种标准。

我和吉姆商量好去听对方的课，比起普通的听课者，我们更像是对方的合作讲师。我们经常质疑对方，以确保每个知识点都没有争议，在其他参加这个课程的教员看来，我们对每个细节都吹毛求疵，好像是故意来砸对方场子的。有的时候我们会因为讨论问题过于激烈而变得不理智，学生们很快就从吉姆那里知道了我喜欢白酒配红肉的嗜好，我也不甘示弱，嘲笑他说法语的时候会有很奇怪的苏格兰口音。后来，我在其他学校开了这门课，那时我才真正意识到这门课的价值，所以我又回去听他讲了很多次。

（二）

吉姆和其他量化分析师的不同之处在于，对于大多数量化分析师来说，模型在一定的限制条件下提供了对资产价格动态过程的一种表示。出于某种原因，商学院的教授们倾向于认为模型是对现实的一种自上而下的统计假设。这种观点在那些没有实际的风险管理经验的人中也很流行。

但是，吉姆不一样，他既做过量化分析师，又做过交易员。在他看来，随机波动率模型的作用不应该像大多数人那样理解。这些模型并不是对现实世界的、自上而下的、教条式的表示，而是保证所有产品都在一个统一的框架下被合理定价的工具，也就是要满足无套利的定价规则。任何机构或个人都不能通过用其他金融工具复制某个金融工具而获利。举个例子，一个模型应该保证欧式看涨期权和欧式数字期权定价的一致性。一个好的模型应该满足无套利原理，同时又没有过多的限制条件。

在他的启发下，我意识到了下面的问题。听他的课到大概第五次的时候，我意识到这个世界需要曼德尔布罗幂律或者可扩展性分布，我发现吉姆用来构建波动率曲面的模型和这些分布是一致的。如何做到这一点呢？你只需要选定某种特殊的方式来提升虚值期权的波动率，波动率曲面就和扩展的幂律保持一致了。

吉姆·盖斯勒尔是个天生的数学家，他非常有天分。听他的课时，你会非常明显地感觉到，他可以毫不费力、自然而然地流露出技艺的精湛，意大利语中，这种状态叫“sprezzatura”。看了这本书，我的这种感触更深了，因为这本书是用LaTeX排版过的，比看他糟糕的板书更加清楚。

——纳西姆·尼古拉斯·塔勒布 

前    言

自从Black-Scholes期权定价公式出现之后，对隐含波动率的研究就成了学术界和业界的研究热点。大家都知道，Black-Scholes模型算出的期权价格往往和实际有偏差，因为模型假设违背市场实际情况。Black-Scholes模型假设隐含波动率（将期权市场价格带回Black-Scholes公式倒推出的波动率）是一个常数，实际上隐含波动率是和期权的到期时间、执行价格相关的，所有这些隐含波动率的集合被称为波动率曲面。

这本书的重点在于对波动率曲面的理解，也就是：为什么期权是这样定价的，以及股票收益率是如何影响期权的定价的。

人们一贯认为定价（Pricing）比对冲重要，可是实际上对冲（Hedging）和复制（Replication）才是实现产品收益的过程。从某种程度上讲，定价确实是关键，因为对冲过程只影响产品收益的分布情况，而不影响产品的期望价值。一般情况下，再精妙的对冲也无法弥补定价错误。这是因为，从某种角度来看，对冲是比定价更复杂、更需要技术含量的事情。

这本书介绍了很多模型，不同的模型假设了不同的动态过程，对这些动态过程的检验是帮助读者建立建模直觉的关键。这本书的目的并不是单纯地罗列结果，而是教会读者如何进行思考以及如何解决各个领域中的实际问题。读完这本书，读者会了解大量最新的期权定价理论，也能够体会出股票衍生品市场在历史上、在实践中到底是如何交易的。这本书的内容与衍生品的交易、营销、定价、对冲和风险管理息息相关，读者若能有幸理解其中真谛，定会受益匪浅。

正如书名所示，这本书是一个经验丰富的业界工作者写给业界工作者的指南。这本书还给出了Heston模型的详细推导，同时解释了其他一些非常著名的模型，例如

易懂、实用、简洁、全面；

翔实叙述隐含波动率曲面特点；

全面阐述金融数学前沿研究成果！

这本书关注于期权隐含波动率曲面的构建，让读者更好地理解隐含波动率曲面，是波动率曲面建模方面非常**与经典的读本，基本所有关于波动率建模的研究都会引用这本书，它堪称波动率建模方面的圣经。这本书已经成为业界流传的经典资料。本书作者对局部波动率、随机波动率模型的处理方法成为业界的标准。

Jim Gatheral 是美林证券（Merril Lynch）的董事总经理（Managing director），纽约大学柯朗数学科学研究所的客座教授。Gatheral博士于1983年在剑桥大学获得理论物理博士学位。之后，他主要于伦敦、东京、纽约从事衍生产品相关工作——账簿管理、风险控制、量化分析。1997年至2005年，Gatheral博士在美林证券股票量化分析组任主管。他现在的研究重点是股票市场微观结构和算法交易。

陈思，浙江大学数学系博士，研究方向为期权波动率曲面、奇异期权及结构性产品定价与风险对冲。浙江大学量化投资学会会长，和讯专栏嘉宾，第一财经嘉宾。

目    录
第1章  随机波动率和局部波动率 1
1．1  随机波动率 1
1．2  局部波动率 7
第2章  风险均衡原理简介 16
2．1  动态过程 16
2．2  Heston模型下的欧式期权定价公式 17
2．3  Heston模型下特征函数的推导 21
2．4  Heston模型的仿真模拟 22
第3章  隐含波动率曲面 26
3．1  从隐含波动率到局部波动率 26
3．2  Heston模型的局部波动率 33
3．3  Heston模型的隐含波动率 35
3．4  标准普尔500指数期权的隐含波动率曲面 37
第4章  Heston-Nandi模型 44
4．1  Heston-Nandi模型的局部方差 44
4．2  数值例子 45
4．3  结果讨论 50
第5章  引入跳过程 51
5．1  为什么需要引入“跳” 51
5．2  跳扩散（Jump Diffusion） 53
5．3  特征函数方法 56
5．4  随机波动率加跳 65
第6章  违约风险建模 72
6．1  Merton的违约模型 72
6．2  资产结构套利 74
6．3  跳灭模型中的局部和隐含波动率 77
6．4  违约风险对期权价格的影响 79
6．5  CreditGrades模型 81
第7章  波动率曲面渐近 85
7．1  剩余到期时间较短的情况 85
7．2  Medvedev-Scaillet的结果 87
7．3  加入跳 90
7．4  剩余到期时间较长的情况：Fouque、Papanicolaou和Sircar 92
7．5  极小的波动率的波动率：Lewis 93
7．6  执行价的极值：Roger Lee 94
7．7  渐近性总结 97
第8章  隐含波动率曲面动态 98
8．1  随机波动率模型下的波动率倾斜动态 98
8．2  局部波动率模型下的波动率倾斜动态 99
8．3  随机隐含波动模型 100
8．4  数字期权和数字Cliquets 100
第9章  障碍期权 104
9．1  定义 104
9．2  特殊情况 105
9．3  反射原理 106
9．4  回溯对冲法 109
9．5  平价公式 109
9．6  准静态对冲和定性估价 110
9．7  针对离散监测的调整 113
9．8  巴黎期权 115
9．9  障碍期权的应用 116
9．10  结论 116
第10章  奇异凯利期权 117
10．1  局部封顶、全局封底凯利 117
10．2  反向凯利 120
10．3  拿破仑 122
第11章  波动率衍生品 127
11．1  一般的欧式收益结构概览 127
11．2  方差和波动率互换 130
11．3  波动率衍生品定价 139
11．4  基于二次变差的交易所交易衍生品 148
11．5  总结 153
参考文献 154

看到Jim Gatheral所著的这本书我非常开心。关于随机波动率的文献非常多，但是大多数晦涩难懂。相反，Gatheral的书很容易理解，且非常实用。它成功地建立了具体例子和一般性模型的联系——表达清晰却不失专业、深度和广度。

——Robert V.Kohn，数学教授，纽约大学柯朗数学科学研究所金融数学委员会主席

简洁且全面，既注重理论又注重现象，这本书翔实地叙述了隐含波动率曲面的特点、关于定价与对冲的结论，以及试图解释这些特点的理论。

——Emanuel Derman，《宽客人生》的作者

Jim Gatheral是聪明的实践者。这本书是由纽约大学柯朗数学科学研究所一门热门课程的讲义演变来的。书中讨论的是金融数学的前沿研究成果，作者对它们进行了绝好的诠释。

——Peter Carr，博士，彭博咨询，量化金融研究主管，纽约大学金融数学硕士项目主任

Jim Gatheral是衍生品前沿建模方面公认的专家。在《波动率曲面：期权波动率建模实战指南》一书中，他揭示了数量金融领域特别重要、很难捉摸的事物——波动率的秘密。”

——Paul Wilmott，作家和数学家

作为金融数学领域的教师，我非常欢迎Jim Gatheral的这本书，它给金融数学教学带来了重大发展。作者是具有丰富市场经验的华尔街业界工作者，同时具有丰富的教学经验。《波动率曲面：期权波动率建模实战指南》让学生接触到了之前接触不到的衍生品知识。我强烈建议大家仔细读这本书。

——Marco Avellaneda，纽约大学柯朗学院金融数学系主任

Jim Gatheral再也写不出比这本更好的书了。

——Bruno Dupire，2006年彭博咨询威尔莫特量化研究前沿研究奖得主